Question

已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA

已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求AE的长和△FCG的面积；（2）如图2，设AE=x，△FCG的面积=S1，求S1与x之间的函数关系式与S1的最大值；（3）在（2）的条件下，如果矩形EFGH的顶点F始终在矩形ABCD内部，连接BF，记△BEF的面积为S2，△BCF的面积为S3，试说明6S1+3S2-2S3是常数．

Answer 1

（1）过点F作FM⊥CD于M．
∵四边形EFGH为正方形，四边形ABCD是矩形，
∴HE=GH=FG，∠EHG=∠HGF=90°，∠A=∠D=90°，
∴∠AEH=∠DHG=90°-∠AHE，∠DHG=∠MGF=90°-∠HGD，
∴∠AEH=∠DHG=∠MGF．
在△AEH、△DHG与△MGF中，

∠A＝∠D＝∠GMF＝90° ∠AEH＝∠DHG＝∠MGF HE＝GH＝FG

，
∴△AEH≌△DHG≌△MGF（AAS），
∴AE=DH=6-2=4，DG=AH=FM=2，
∴△FCG的面积=

1

2

?CG?FM=

1

2

×6×2=6；

（2）过点F作FM⊥CD于M．
在△AEH与△DHG中，
∵∠A=∠D=90°，∠AEH=∠DHG=90°-∠AHE，
∴△AEH∽△DHG，
∴

DG

AH

＝

DH

AE

，即

DG

2

＝

4

x

，
∴DG=

8

x

，
∴CG=DC-DG=8-

8

x

，
∵FM=2，
∴△FCG的面积=S₁=

1

2

?CG?FM=

1

2

（8-

8

x

）×2=8-

8

x

，
∵0＜x≤8，
∴当x=8时，S₁的最大值为7；

（3）由（2）可得S₁=

1

2

（8-

8

x

）×2=8-

8

x

．
过点F作FN⊥AB于N，易证△NFE≌△DHG，
∴FN=HD=4，EN=GD=

8

x

，
∵BE=AB-AE=8-x，
∴S₂=

1

2

?BE?FN=

1

2

（8-x）×4=16-2x；
过点F作FP⊥BC于P，则四边形FNBP是矩形，
∴FP=BN=AB-AE-EN=8-x-

8

x

，
∴S₃=

1

2

?FP?BC=

1

2

（8-x-

8

x

）×6=24-3x-

24

x

，
∴6S₁+3S₂-2S₃
=6（8-

8

x

）+3（16-2x）-2（24-3x-

24

x

）
=48-

48

x

+48-6x-48+6x+

48

x

=48．