Question

已知 如图 矩形ABCD中 AD=6 DC=7 菱形EFGH的三个顶点E G H 分别在矩形ABCD的边AB

已知 如图 矩形ABCD中 AD=6 DC=7 菱形EFGH的三个顶点E G H 分别在矩形ABCD的边AB CD AD 上AH=2 连接CF
（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长
（2）当△FCG的面积为1时，求DG的长
（3）当△FCG的面积最小时，求DG的长

Answer 1

解：（1）证得△AHE≌△DGH

∴DG=AH=2

（2）作FM⊥DC，M为垂足，连接GE，

∵AB‖CD，∴∠AEG=∠MGE

∵HE‖GF，∴∠HEG=∠FGE，

∴∠AEH=∠MGF．

在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，∴△AHE≌△MFG．

∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．

因此S△FCG= 1/2*2*GC=1，解得GC=1，DG=6．

（3）设DG=x，则由第（2）小题得，S△FCG=7-x，又在△AHE中，AE≤AB=7，

∴HE²≤53，∴x²+16≤53，x≤根号37 ，

∴S△FCG的最小值为 7-根号37 ，此时DG= 根号37 ．

Answer 2

这几个条件要是合起来的话，DG长应该是6，过F点做AB的垂线，交DC与P交AB与O，能看出来△EOF与△GDH全等，这样就能算出来FP等于2，也就是三角形CFG的高等于2，知道面积，能求出底CG的长度，最后也可以求出DG等于6

Answer 3

解：（1）∵四边形EFGH为正方形，
∴HG=HE，
∵∠DHG+∠AHE=90°，
∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DGH=∠AHE，
∴△AHE≌△DGH（AAS）
∴DG=AH=2

（2）作FM⊥DC，M为垂足，连接GE，
∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE
∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF．
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，∴△AHE≌△MFG．
∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．
因此S△FCG=1 2 ×2×GC=1，解得GC=1，DG=6．

（3）设DG=x，则由第（2）小题得，S△FCG=7-x，又在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE2≤53，∴x2+16≤53，x≤ 37 ，
∴S△FCG的最小值为7- 37 ，此时DG= 37 ．

Answer 4

好像应该从CF的长入手，通过关系式表示efgh的面积来算。

Answer 5

2007 常州中考题