Question

已知函数f(x)＝3sinxcosx+cos2x：（1）求函数f（x）的周期、值域和单调递增区间；（2）当x∈[π2，π]时

已知函数f(x)＝3sinxcosx+cos2x：（1）求函数f（x）的周期、值域和单调递增区间；（2）当x∈[π2，π]时，求函数f（x）的最值．

Answer 1

（1）f(x)＝

3

sinxcosx+cos2x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

∴函数的最小正周期T=

2π

2

=π，
-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，故函数的值域为[-

1

2

，

3

2

]
当2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

2π

3

≤x≤kπ+

π

6

，函数单调增，
故函数的单调增区间为[kπ-

2π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（2）∵x∈[

π

2

，π]
∴2x+

π

6

∈[

7π

6

，

13π

6

]
∴当2x+

π

6

=

3π

2

时函数的最小值为-

1

2

，
当2x+

π

6

=

13π

6

时函数的最大值为

1

2

+

1

2

=1