Question

已知函数 g(x)= 4 x -n 2 x 是奇函数， f(x)=lo g 4 ( 4 x +1)+mx 是偶函数．

已知函数 g(x)= 4 x -n 2 x 是奇函数， f(x)=lo g 4 ( 4 x +1)+mx 是偶函数．（1）求m+n的值；（2）设 h(x)=f(x)+ 1 2 x ，若g（x）＞h[log 4 （2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R， ∴g（0）=0，即 4 0 -n 2 0 =0?n=1 ，…（3分） ∵ f(x)=lo g 4 ( 4 x +1)+mx ， ∴ f(-x)=lo g 4 ( 4 -x +1)-mx=lo g 4 ( 4 x +1)-(m+1)x ， ∵f（x）是偶函数， ∴f（-x）=f（x），得mx=-（m+1）x恒成立，故 m=- 1 2 ， 综上所述，可得 m+n= 1 2 ；…（4分） （2）∵ h(x)=f(x)+ 1 2 x=lo g 4 ( 4 x +1) ， ∴h[log 4 （2a+1）]=log 4 （2a+2），…（2分） 又∵ g(x)= 4 x -1 2 x = 2 x - 2 -x 在区间[1，+∞）上是增函数， ∴当x≥1时， g(x ) min =g(1)= 3 2 …（3分） 由题意，得 2a+2＜ 4 3 2 2a+1＞0 2a+2＞0 ?- 1 2 ＜a＜3 ， 因此，实数a的取值范围是： {a|- 1 2 ＜a＜3} ．…（3分）