Question

已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）设cn=1an?an+1，求数列{cn}的前

已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）设cn=1an?an+1，求数列{cn}的前n项和Tn；（3）讨论（2）中Tn的最值．

Answer 1

（1）∵S_n=n²+1
∴a₁=S₁=1+1=2，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+1）-[（n-1）²+1]=2n-1，
当n=1时，2n-1=1≠a₁，
∴an＝

2 n＝1 2n?1 n≥2

．
（2）n≥2时，c_n=

1

an?an+1

=

1

(2n?1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n?1

-

1

2n+1

），
∴当n=1时，T_n=c₁=

1

a1a2

=

1

2×3

=

1

6

，
当n≥2时，T_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

6

+

1

2

（

1

3

-

1

5

+

1

5

?

1

7

+…+

1

2n?1

-

1

2n+1

）=

1

6

+

1

2

（

1

3

-

1

2n+1

）=