Question

先解答（1），再根据结构类比解答（2）（1）已知a，b为实数，且|a|＜1，|b|＜1，求证：ab+1＞a+b．（2）

先解答（1），再根据结构类比解答（2）（1）已知a，b为实数，且|a|＜1，|b|＜1，求证：ab+1＞a+b．（2）已知a，b，c均为实数，且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1求证：abc+2＞a+b+c．

Answer 1

证明：（1）假设ab+1≤a+b，则ab+1-a-b≤0
所以a（b-1）-（b-1）≤0
所以（a-1）（b-1）≤0
所以有两种情况：①a-1≤0且b-1≥0，所以a≤1且b≥1，这与已知条件|b|＜1矛盾；
②a-1≥0且b-1≤0，所以a≥1且b≤1，这与已知条件|a|＜1矛盾，
所以假设不成立，从而有 ab+1＞a+b．
（2）由（1）有|a|＜1，|bc|=|b||c|＜1，
所以abc+2=abc+1+1＞a+bc+1＞a+b+c．