Question

斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长为a，侧棱与底面所成的角为60°，且侧面ABB1A1垂直于底面．（Ⅰ）判断B1C与AC

斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长为a，侧棱与底面所成的角为60°，且侧面ABB1A1垂直于底面．（Ⅰ）判断B1C与AC1是否垂直，并证明你的结论；（Ⅱ）求三棱柱的全面积．

Answer 1

（Ⅰ）B₁C与AC₁垂直．
证明如下：
连接BC₁，由题意知B₁C⊥BC₁
作B₁D⊥AB，由条件知B₁D⊥面ABC，
又侧棱与底面所成的角为60°，
∴D为AB的中点，
∴CD⊥AB，CD为CB₁在底面ABC上的射影
又B₁C⊥AB，∴B₁C⊥面ABC₁，∴B₁C⊥AC₁
（Ⅱ）由题意知cos∠B1BC＝cos∠B1BA?cos∠CBA＝

1

4

，
∴sin∠B1BC＝

15

4

同理可得sin∠A1AC＝

15

4

∴S_侧=AB×BB₁×sin60°+BC×BB₁×sin∠B₁BC+AC×AA₁×sin∠A₁AC
=

3

2

a2+2×a2×

15

4

＝

3 + 15

2

a2
∴S全＝2S底+S侧＝2×

3

4

a2+

3 + 15

2

a2＝

2 3 + 15

2

a2．