Question

已知函数f（x）的定义域是{x|x≠0，x∈R}，对定义域内任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞

已知函数f（x）的定义域是{x|x≠0，x∈R}，对定义域内任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1；（1）求f（1）、f（-1）；（2）求证：f（x）是偶函数；（3）求证：f（x）在（0，+∞）是增函数；（4）解不等式f（x2-2x+1）＜2．

Answer 1

解答：（1）解：对定义域内任意x₁，x₂都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=1，则f（1）=2f（1），即有f（1）=0，
令x₁=x₂=-1，则f（1）=2f（-1），即有f（-1）=0；
（2）证明：函数f（x）的定义域是{x|x≠0，x∈R}，
令x₁=x，x₂=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
则f（x）是偶函数；
（3）证明：令0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
由x＞1，f（x）＞0，得f（

x2

x1

）＞0，
则有f（x₂）=f（x₁?

x2

x1

）=f（x₁）+f（

x2

x1

）＞f（x₁），
则f（x）在（0，+∞）是增函数；
（4）解：由f（2）=1，得f（4）=2f（2）=2，
则f（x²-2x+1）＜2即为：f（x²-2x+1）＜f（4），
由于x²-2x+1=（x-1）²≥0，
则由f（x）在（0，+∞）是增函数，
得到0＜x²-2x+1＜4，解得-1＜x＜1或1＜x＜3．
故原不等式的解集为（-1，1）∪（1，3）．