Question

★平面区域D={(x,y)| x^2+y^2<=1},则二重积分∫∫( x^2+y^2)^2dδ=?

中间r属于(0,1)，θ属于(0,2π)，怎么看出来的
还有(x^2+y^2)怎么就变成r^4了

Answer 1

x=r *cosθ，y=r *sinθ
当然二者的平方就得到x²+y²=r²

所以(x²+y²)²=r^4，再乘上转换为极坐标所需的r，即为r^5

而题目给的条件是x²+y²≤1，
代入就得到r²≤1，所以r 的范围就是(0,1)

而此平面区域是一个完整的圆形，
角度的范围就是整个一个圆周，即θ属于(0,2π)
于是得到
∫∫ (x²+y²)² dxdy
=∫ (0,2π) dθ ∫(0,1) r^4 *r dr
=∫ (0,2π) dθ ∫(0,1) r^5 dr

就是你要的结果