Question

设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，则f(x)在点x0可导的充分必要条件是

设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，则f(x)在点x0可导的充分必要条件是
(A) 极限limΔx→0 f(x0+Δx）-f(x0-Δx）/Δx存在
(B) 极限lim n→∞ n[f(x0+1/n)-f(x0)]存在
(C)极限 lim t→∞ t [f(x0)-f(x0-1/t)]存在
(D)极限 lim h→0 f(x0+h^2)-f(x0)/h^2存在
选哪个
尤其是B和D怎么思考呢
还有一个问题
lim n→∞ [f(x0+1/n)-f(x0)]/(1/n)极限存在
函数f（x）在x0处为什么是 不一定 可导呢？
谢谢

Answer 1

若lim f '(x0)=A，则lim[x→x0] [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=A
因此lim[x→x0+] [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=A
lim[x→x0-] [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=A
则：f+'(x0)=f-'(x0)=A
反之：若f+'(x0)=f-'(x0)=A
则lim[x→x0+] [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=A
lim[x→x0-] [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=A

因此：lim[x→x0] [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=A
即f '(x0)=A

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