Question

选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C 1 ：x 2 +y 2 =1，将C 1 上的所有点的横坐

选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C 1 ：x 2 +y 2 =1，将C 1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 、2倍后得到曲线C 2 ．以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．（Ⅰ）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C 2 的参数方程；（Ⅱ）在曲线C 2 上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

Answer 1

（Ⅰ） 由题意知，直线l的直角坐标方程为：2x-y-6=0， ∵曲线C 2 的直角坐标方程为： ( x 3 ) 2 +( y 2 ) 2 =1 ， ∴曲线C 2 的参数方程为： x= 3 cosθ y=2sinθ (θ为参数) ．…（5分） （Ⅱ）设点P的坐标 ( 3 cosθ，2sinθ) ，则点P到直线l的距离为： d= |2 3 cosθ-2sinθ-6| 5 = |4sin( 60 0 -θ)-6| 5 ， 故当sin（60 0 -θ）=-1时，可令θ=150°，点 P(- 3 2 ，1) ， 此时 d max = |-4-6| 5 =2 5 ．…（10分）