Question

如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD。 （1）求证：四边形OCED是菱形；（

如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD。 （1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的而积为8，求AC的长。

Answer 1

解：（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=OC=BO=OD， ∴四边形OCED是菱形； （2）∵∠ACB=30°， ∴∠DCO=90°-30°=60°， 又∵OD=OC， ∴△OCD是等边三角形， 过D作DF⊥OC于F，则CF= OC， 设CF=x，则OC=2x，AC=4x， 在Rt△DFC中，tan60°= ， ∴DF=CF·tan60°= x， 由已知菱形OCED的而积为8 ，得 OC·DF=8 ，即2x· x=8， 解得x=2， ∴AC=4×2=8。