Question

（2013?攀枝花）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与

（2013?攀枝花）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan∠F=12，求cos∠ACB的值．

Answer 1

（1）证明：连接OA，
∵PA与圆O相切，
∴PA⊥OA，即∠OAP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D为AB中点，即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵在△OAP和△OBP中，

AP＝BP OP＝OP OA＝OB

，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴BP⊥OB，
则直线PB为圆O的切线；

（2）答：EF²=4DO?PO．
证明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，
∴△OAD∽△OPA，
∴

OA

OP

=

OD

OA

，即OA²=OD?OP，
∵EF为圆的直径，即EF=2OA，
∴

1

4

EF²=OD?OP，即EF²=4OD?OP；

（3）解：连接BE，则∠FBE=90°．
∵tan∠F=

1

2

，
∴

BE

BF

=

1

2

，
∴可设BE=x，BF=2x，
则由勾股定理，得
EF=

BF2+BE2

=

5

x，
∵

1

2

BE?BF=

1

2

EF?BD，
∴BD=

2 5

5

x．
又∵AB⊥EF，
∴AB=2BD=