Question

一道初三几何题

如图，在直角三角形ABC中,∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AB上的动点,E是BC上的动点，则AE+DE的最小值为多少

Answer 1

直角三角形ABC中，已知AC=6,BC=8,则AB=10.。

延长AC到A'，使A'C=AC,连接A'B，则A'B与AB关于BC轴对称，A'B=AB，AA'=2AC=12。

先使D点位于某处不动，如上图，作D点关于BC的对称点D'，则D'点位于A'B上，

连接D'E，易证D'E=DE,得AE+DE=AE+D'E，

这时折线AED'的长度AE+D'E因E点的位置而变化。

显然，当E点处在AD'连线上时，折线AED'的长度较短。

为了求得AE+DE的最小值，只须找到三角形ABA'中最短的AD'线段的位置，

熟知，当AD'⊥A'B时，AD'最短。

所求的最小值是BC*AA'/A'B=8*12/10=9.6。

Answer 2

作辅助线，延长AC到点F，使CF=AC,连接EF,BF。
容易证明 EF=AE
所以 只要求 EF+DE的最小值即可
结合图形可知，当DF⊥AB(DF与BC的交点为E)时取得最小值，即DF的长度。
△ABF中，根据面积计算有 AF×BC=AB×DF
算得最小值 为9.6

Answer 3

如图，延长AC至A'，A'C=AC=6，连接A'B，过A做垂线交A'B于D‘，则AD'为AE+DE的最小值，由上图解题过程可得AD'=48/5。解题不容易，请采纳，谢谢！