Question

（本小题满分6分）如图，在△ ABC 中，∠ ACB =90°， O 为 BC 边上一点，以 O 为圆心， OB 为半径作半圆

（本小题满分6分）如图，在△ ABC 中，∠ ACB =90°， O 为 BC 边上一点，以 O 为圆心， OB 为半径作半圆与 AB 边和 BC 边分别交于点 D 、点 E ，连接 CD ，且 CD = CA ， BD = ，tan∠ ADC =2． 小题1:（1）求证： CD 是半圆 O 的切线小题2:（2）求半圆 O 的直径；小题3:（3）求 AD 的长.

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Answer 1

小题1: （1）证明：如图，连接 OD ， ∵ OD ＝ OB ，∴∠1＝∠2. ∵ CA ＝ CD ，∴∠ ADC ＝∠ A . 在△ ABC 中， ∵∠ ACB ＝90°，∴∠ A ＋∠1＝90°. ∴∠ ADC ＋∠2＝90°. ∴∠ CDO ＝90°. ∵ OD 为半圆 O 的半径， ∴ CD 为半圆 O 的切线. 小题2:（2）解：如图，连接 DE . ∵ BE 为半圆 O 的直径， ∴∠ EDB ＝90°.∴∠1＋∠3＝90°. ∴∠ ADC ＝∠3. ∴ . ∴ . ∴ . 小题3:（3）解：作 CF ⊥ AD 于点 F ，∴ AF ＝ DF . 设 ， ∵ ，∴ CF ＝2 x . ∵∠1＋∠ FCB ＝90°， ∴ . ∴ . ∴ FB ＝4 x . ∴ BD ＝3 x ＝ . 解得 . ∴ AD ＝2 DF ＝2 x ＝

略