Question

设f（x）=ln（x+1）+ +ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y= x在（0，0）点相切。（1）

设f（x）=ln（x+1）+ +ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y= x在（0，0）点相切。（1）求a，b的值；（2）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜ 。

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Answer 1

解：（1）由y=f（x）过（0，0）， ∴f（0）=0，= ∴b=-1 ∵曲线y=f（x）与直线 在（0，0）点相切 ∴y′|x=0= ∴a=0； （2）由（1）知f（x）=ln（x+1）+ 由均值不等式，当x＞0时， ， ∴ ① 令k（x）=ln（x+1）-x， 则k（0）=0，k′（x）= ， ∴k（x）＜0 ∴ln（x+1）＜x，② 由①②得，当x＞0时，f（x）＜ 记h（x）=（x+6）f（x）-9x， 则当0＜x＜2时，h′（x）=f（x）+（x+6）f′（x）-9＜ ＜ = ∴h（x）在（0，2）内单调递减， 又h（0）=0， ∴h（x）＜0 ∴当0＜x＜2时，f（x）＜ 。