Question

已知函数f（x）=sin 2 x+ 3 sinxcosx+2cos 2 x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和

已知函数f（x）=sin 2 x+ 3 sinxcosx+2cos 2 x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

（I） f(x)= 1-cos2x 2 + 3 2 sin2x+(1+cos2x) = 3 2 sin2x+ 1 2 cos2x+ 3 2 = sin(2x+ π 6 )+ 3 2 ． ∴f（x）的最小正周期 T= 2π 2 =π ． 由题意得 2kπ- π 2 ≤2x+ π 6 ≤2kπ+ π 2 ，k∈Z ， 即 kπ- π 3 ≤x≤kπ+ π 6 ，k∈Z ． ∴f（x）的单调增区间为 [kπ- π 3 ，kπ+ π 6 ]，k∈Z ． （II）先把y=sin2x图象上所有点向左平移 π 12 个单位长度，得到 y=sin(2x+ π 6 ) 的图象， 再把所得图象上所有的点向上平移 3 2 个单位长度，就得到 y=sin(2x+ π 6 )+ 3 2 的图象．