Question

如图，正方形ABCD的边长为2，以对角线BD为边作菱形BEFD，点C、E、F在同一直线上．（1）求∠EBC的度数；（

如图，正方形ABCD的边长为2，以对角线BD为边作菱形BEFD，点C、E、F在同一直线上．（1）求∠EBC的度数；（2）求CE的长．

Answer 1

（1）连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥BD于点H，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD=AC=2

2

，AC⊥BD，
∴OC=

1

2

AC=

2

，
∵四边形BEFD是菱形，
∴BE=BD=2

2

，BD∥EF，
∵点C、E、F在同一直线上，
∴EH=OC=

2

，
在Rt△BEH中，sin∠EBH=

EH

BE

=

2

2 2

=

1

2

，
∴∠EBH=30°，
∴∠EBC=∠DBC-∠EBH=45°-30°=15°；

（2）过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G，
∵BD∥EF，
∴∠ECG=∠DBC=45°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∴EG=CG，
设EG=x，
则BG=BC+CG=2+x，
在Rt△BEG中，BE²=BG²+EG²，
即（2

2

）²=（2+x）²+x²