Question

已知数列{an}满足a1=3，anan-1=2an-1-1．（1）求a2，a3，a4；（2）求证：数列{1an?1}是等差数列，并求出{

已知数列{an}满足a1=3，anan-1=2an-1-1．（1）求a2，a3，a4；（2）求证：数列{1an?1}是等差数列，并求出{an}的通项公式．（3）若bn＝(2n?1)2nan，求{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵a₁=3，a_na_n-1=2a_n-1-1．
当n=2时，a₂a₁=2a₁-1，即a₂=2-

1

a1

=

5

3

，
当n=3时，a₃a₂=2a₂-1，即a₃=2-

1

a2

=

7

5

，
当n=4时，a₄a₃=2a₃-1，即a₄=2-

1

a3

=

9

7

，
证明：（2）由题意得a_n≠0且a_n≠1
∵a_na_n-1=2a_n-1-1．
∴（a_n-1-1）-（a_n-1）=（a_n-1-1）（a_n-1）
∴

1

an?1

-

1

a?1 ?1

=1
∴数列{

1

an?1

}是以

1

2

为首项，以1为公式差的等差数列
故

1

an?1

＝

1

2

+n?1＝n?

1

2

∴an＝

2

2n?1

+1＝

2n+1

2n?1

解：（3）由（2）得：bn＝(2n+1)2n
∴T_n=3?2+5?2²+7?2³+…+（2n+1）2ⁿ…①
∴2T_n=3?2²+7?2³+…+（2n-1）2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹…②
②-①得：Tn＝(2n?1)2n+1+2