Question

求方程7（x+y）=3（x2-xy+y2）的整数解

求方程7（x+y）=3（x2-xy+y2）的整数解．

Answer 1

设x+y=3t，x²-xy+y²=7t（其中t为整数），
∴3xy=（x+y）²-（x²-xy+y²）=9t²-7t，
∴7（x+y）=3（x²-xy+y²）≥3（x²-2xy+y²）=3（x-y）²≥0，
?x+y≥0，
∴t≥0，
∵（x-y）²=x²-xy+y²-xy=-

28t?9t2

3

，
∴t是3的倍数，于是，设t=3k，
则（x-y）²=28k-27k²=k（28-27k）≥0，
又∵k≥0，
∴k=0或1，
①当k=0时，x+y=0，即x=-y代入x²-xy+y²=0，
解得x=0、y=0；
②当k=1时，则x-y=±1，x+y=3t=9k=9，
解得x=4、y=5或x=5、y=4．
答：原方程的解为x=0、y=0，x=5，y=4或x=4，y=5．

Answer 2

(x+y)/(x^2-xy+y^2)=3/7
设x+y=3t
x^2-xy+y^2=7t
t为整数
于是
x^2+2xy+y^2=9t^2
3xy=9t^2-7t
(x-y)^2=(28t-9t^2)/3
则t是3的倍数，于是，设t=3k
则(x-y)^2=28k-27k^2=k(28-27k)≥0
又k是整数，于是k=0或1
当k=0时，分母为0，舍弃，于是k=1
则x-y=±1，x+y=3t=9k=9
x=4,y=5或x=5,y=4