Question

如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧AB上的一个动点（不与点A、点B重合）．连

如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧AB上的一个动点（不与点A、点B重合）．连接AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连接DE．若AB=23．（1）求∠C的度数；（2）求DE的长；（3）如果记tan∠ABC=y，ADDC=x（0＜x＜3），那么在点C的运动过程中，试用含x的代数式表示y．





Answer 1

解答：解：（1）如图：连接OB、OM．
则在Rt△OMB中，∵OB=2，MB=

3

，∴OM=1．
∵OM=

1

2

OB，∴∠OBM=30°．
∴∠MOB=60°．
连接OA．则∠AOB=120°．
∴∠C=

1

2

∠AOB=60°．

（2）∵四边形ABED内接于⊙M，
∴∠CBA+∠ADE=180°，
∵∠CDE+∠ADE=180°，
∴∠CDE=∠CBA，
在△CDE和△CBA中，
∵∠CDE=∠CBA，∠ECD=∠ACB，
∴△CDE∽△CBA，∴

DE

AB

＝

DC

BC

．
连接BD，则∠BDC=∠ADB=90°．
在Rt△BCD中，∵∠BCD=60°，∴∠CBD=30°．∴BC=2DC．
∴

DC

BC

＝

1

2

．即

DE

AB

＝

1

2

．
∴DE=

1

2

AB=

1

2

×2

3

=

3

．

（3）连接AE．
∵AB是⊙M的直径，∴∠AEB=∠AEC=90°．
由

AD

DC

＝x，可得AD=x?DC，AC=AD+DC=（x+1）?DC．
在Rt△ACE中，∵cos∠ACE=

CE

AC

，sin∠ACE=

AE

AC

，
∴CE=AC?cos∠ACE=（x+1）?DC?cos60°=

1

2

(x+1)?DC；
AE=AC?sin∠ACE=（x+1）?DC?sin60°=

3

2

(x+1)?DC．
又由（2），知BC=2DC．
∴BE=BC-CE=2DC?

1

2

(x+1)?DC＝

1

2

(3?x)?DC．
在Rt△ABE中，tan∠ABC=

AE

BE

＝

3 2 (x+1)?DC

1 2 (3?x)?DC

＝

3 (x+1)

3?x

，
∴y＝

3 (x+1)

3?x

（0＜x＜3）．