Question

椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)的离心率为√3/2，椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P,Q，且|PQ

且|PQ |=√10，求椭圆的方程

Answer 1

解：设P，Q两点的坐标是(x1，y1)(x2，y2)
e=c/a=√3/2
(c/a)^2=3/4
c^2=(3/4)a^2
c^2=a^2-b^2=(3/4)a^2
(1/4)a^2=b^2
a＞b＞0
a=2b
椭圆x²/a²+y²/b²=1与直线x+2y+8=0相交于点P，Q：
x^2+4[-8-x)/2]^2=4b^2
x^2+8x-2b^2+32=0
x1+x2=8，x1x2=32-2b^2
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=64-128+8b^2=8b^2-64
y1-y2=(-8-x1)/2+(8+x2)/2
=(x2-x1)/2
|PQ|=√[(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2]
=√(8b^2-64)+√[(8b^2-64)/4]
=(3/2)*√(8b^2-64)
=6*√(b^2-8)
6*√(b^2-8) =√10
36*(b^2-8)=10
b^2=109/13
a^2=436/13
椭圆的方程：x^2/(436/13)+y^2/(109/13)=1
x^2/436+y^2/109=1/13

计算好繁琐，但过程就是这样子的，不知道结果对不对，我计算比较马虎，可能计算上会出问题。