Question

（2011?海南）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ．（1）求证：△BDQ≌△AD

（2011?海南）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ．（1）求证：△BDQ≌△ADP；（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB，∠ABD=∠CBD= ∠ABC，AD∥BC， ∵∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°， ∴AD=BD，∠CBD=∠A=60°， ∵AP=BQ， ∴△BDQ≌△ADP（SAS）； （2）过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E， ∵△BDQ≌△ADP， ∴BQ=AP=2， ∵AD∥BC， ∴∠QBE=60°， ∴QE=QB?sin60°=2× = ，BE=QB?cos60°=2× =1， ∵AB=AD=3， ∴PB=AB﹣AP=3﹣2=1， ∴PE=PB+BE=2， ∴在Rt△PQE中，PQ= = ， ∴cos∠BPQ= = = ．

略