Question

已知实数a、b满足条件a＞0，b＞0，且a+b=4，则代数式 a 2 +1 + b 2 +4

已知实数a、b满足条件a＞0，b＞0，且a+b=4，则代数式 a 2 +1 + b 2 +4 的最小值是______．

Answer 1

作图如下所示，作AC⊥AB，BD⊥AB， 设AC=1，BD=2，AB=4， 在AB上取一点F，将AB分为AF和BF， 设AF=a，BF=b=4-a， ∴CF= a 2 +1 ，DF= b 2 +4 = (4-a ) 2 +4 ， ∴CF+DF= a 2 +1 + b 2 +4 ， 要求CF+DF的最小值，问题转化为在AB上找到一点F，使得CF+DF最小， 过C作关于AB对称点E，使得CA=EA=1， 连DE交AB于F，由CF+DF=DE，此时CF+DF最短． ∴代数式 a 2 +1 + b 2 +4 的最小值=（CF+DF）的最小值=DE= 3 2 + 4 2 =5． 故答案为：5．