Question

阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图（1），在?ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延

阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图（1），在?ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．如果AFEF=3，求CDCG的值．他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，则可以得到△BAF∽△HEF．请你回答：（1）AB和EH的数量关系为______，CG和EH的数量关系为______，CDCG的值为______．（2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果AFEF=a（a＞0），那么CDCG的值为______（用含a的代数式表示）．（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F．如果ABCD=m，BCBE=n（m＞0，n＞0），那么AFEF的值为______（用含m，n的代数式表示）．

Answer 1

（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如右图1所示．
则有△ABF∽△EHF，
∴

AB

EH

=

AF

EF

=3，∴AB=3EH．
∵?ABCD，EH∥AB，∴EH∥CD，
又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG=2EH．

CD

CG

=

AB

CG

=

3EH

2EH

=

3

2

．
故答案为：AB=3EH；CG=2EH；

3

2

．

（2）如右图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．
∴

AB

EH

=

AF

EF

=m，∴AB=mEH．
∵AB=CD，∴CD=mEH．
∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．
∴

CG

EH

=

BC

BE

=2，∴CG=2EH．
∴

CD

CG

=

mEH

2EH

=

m

2

．
故答案为：

m

2

．

（3）如右图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．
∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，
∴

CD

EH

=

BC

BE

=n，∴CD=nEH．
又

AB

CD

=m，∴AB=mCD=mnEH．
∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，
∴

AF

EF

=

AB

EH

=

mnEH

EH

=mn，
故答案为：mn．