Question

数列{an}中，a1=3，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（1）求

数列{an}中，a1=3，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）求{an}的通项公式．

Answer 1

（1）a₁=3，a₂=3+c，a₃=3+3c，
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，∴（3+c）²=3（3+3c），
解得c=0或c=3．
当c=0时，a₁=a₂=a₃，不符合题意舍去，故c=3．
（ 2）当n≥2时，由a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…，a_n-a_n-1=（n-1）c，
an?a1＝[1+2+…+(n?1)]c＝

n(n?1)

2

can?a1＝[1+2+…+(n?1)]c＝

n(n?1)

2

c．
又a₁=3，c=3，∴an＝3+

3

2

n(n?1)＝

3

2

(n2?n+2)(n＝2，3，…)．
当n=1时，上式也成立，
∴an＝

3

2

(n2?n+2)(n∈N*)．