Question

已知圆O：x2+y2=1，圆C：（x-2）2+（y-4）2=1．在两圆外一点P（a，b）引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B

已知圆O：x2+y2=1，圆C：（x-2）2+（y-4）2=1．在两圆外一点P（a，b）引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|．（1）求实数a，b间的关系式．（2）求切线长|PA|的最小值．（3）是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切，若存在求出圆P的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）连接PO，PC，∵|PA|=|PB|，|0A|=|CB|=1，
∴|PO|²=|PC|²从而a²+b²=（a-2）²+（b-4）²，a+2b-5=0．
（2）由（1）得a=-2b+5
∴|PA|=

|PO|2?|OA|2

＝

a2+b2?1

=

5b2?20b+24

=

5(b?2)2+4

当b=2时，|PA|_min=2．
（3）若存在，设半径为R，则有|PO|=R-1，|PC|=R+1，于是|PC|=|PO|+2，
即

(a?2)2+(b?4)2

＝

a2+b2

+2
整理得

a2+b2

＝4?(a+2b)＝?1＜0
故满足条件的圆不存在．