Question

已知曲线C上任意一点P到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1，一个圆的圆心为A（0，4），过点A

已知曲线C上任意一点P到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1，一个圆的圆心为A（0，4），过点A的直线与曲线C交于D，E两点．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）当线段DE长度最短时，曲线C过D点的切线与圆A相切的弦长为855，求此时圆A的方程．

Answer 1

（Ⅰ）点P到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1，
即P在直线l的上方，且P到点F（0，1）的距离与它到直线l：y=-1的距离相等，
即P点的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，则对应的抛物线方程为x²=4y．
（Ⅱ）设直线DE：y=kx+4，
由

y＝kx+4 x2＝4y

，得x²-4kx-16=0，
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16，
则DE=

(1+k2)(16k2+64)

=4

k4+5k2+4

，
则当k=0时，DE最短，不妨设D在第一象限，此时D（4，4），
过D的切线为2x-y-4=0，
过D点的切线与圆A相切的弦长2

R2?( 8 5 )2

=

8 5

5

，
解得R=4，
则圆的方程为x²+（y-4）²=16．