Question

线性代数：是不是如果r（A）＝1，那么A的特征值中有且仅有一个非零？？如何证明？

Answer 1

若r(A) = 1 ，则 A的特征值中有且只有一个非零。

证明方法有很多。
1、将特征行列式 |λE-A| = 0 ，利用行列式定义Σ(-1)^t a1p1a2p2...anpn 展开为 λ^n-Σaiiλ。
2、A可以写成两个行向量α、β的乘积，A=αTβ ，α=（a1，a2，...，an）,β=(b1，b2，...，bn）

把矩阵A写成具体aibj形式的矩阵，然后利用行列式性质，将|λE-A|化为三角形行列式，得到
|λE-A|=（-1)^n-1 λ^n-1(Σaibi-λ）=0 ，故λ1=λ2=...=λn-1=0，λn=Σaibi

newmanhero 2015年2月15日16:59:34

希望对你有所帮助，望采纳。