Question

对坐标曲面积分的一个小问题

为什么由于红色圈圈那个地方等于0……？？？

Answer 1

第二类和第一类是相反的，你可以这么记住

第二类曲面积分有偶零奇倍性质
即若被积函数关于对应的面时为偶函数，积分结果为0
yOz面，看x
zOx面，看y
xOy面，看z
而1/cos^2y和1/cos^2z面分别关于y和z是偶函数，所以积分结果为0

情况是这样的
∫∫Σ 1/cos^2z dxdy
在上半球上侧部分，z=√(1-x^2-y^2)
I1=∫∫Σ 1/cos^2z dxdy = + ∫∫D 1/cos^2z dxdy
在下半球下侧部分，z=-√(1-x^2-y^2)
I2=∫∫Σ 1/cos^2z dxdy = - ∫∫D 1/cos^2z dxdy
由于1/cos^2z关于z为偶函数，
所以I=I1+I2=∫∫D 1/cos^2z dxdy-∫∫D 1/cos^2z dxdy=0
所以没必要再进一步计算了

但是，第一类曲面积分是相反的，偶倍奇零性质