Question

一到高数微分方程，谢谢回答

∫（下限1上限x）tf（t）dt=xf(x)+x^2求f（x)
过程尽量写详细些谢谢回答

Answer 1

[∫(1->x) tf(t) dt]'=xf(x)
两边对x积分
有xf(x)=f(x)+xf'(x)+2x
使y=f(x)
得xy'-(x-1)y+2x=0
y'-[(x-1)/x]y=-2
一阶线性
p(x)=(x-1)/x
Q(x)=-2
-∫p(x)dx=∫(x-1)/x dx=x-lnx
可得y=e^(x-lnx)[C-2∫e^(lnx-x)dx]
其中∫e^(lnx-x)dx=∫ [e^(lnx)]/(e^x) dx
=∫x/e^x dx
=∫xe^(-x) dx
=-∫xe^(-x) d(-x)
=-xe^(-x) + ∫e^(-x) dx
= -(x+1)e^(-x)
代入原式最后
得y=[(Ce^x)+ 2(x+1)]/x