Question

如图1,BD，CE分别是三角形abc的外角平分线，过点A做AF垂直BD，AD垂直BD垂足分别为点F,G,连结FG

，延长AF,AG与直线BC相交。
(1)求证;FG=1/2(AB+BC+AC)
(2)若BD,CE分别是三角形ABC的内角平分线（如图2），BD为三角形ABC的内角平分线，CE为三角形ABC的外角平分线（如图3），在图2和图3的情况下，线段FG与三角形ABC三边又有怎样的关系？请写出猜想，给予证明

Answer 1

（1）证明：因为BD ,CE分别是三角形ABC的外角平分线
所以角ABF=角MBF (点M是设的字母）
角ACE=角NCE
因为AF垂直BD
所以角AFB=角MFB=90度
因为BF=BF
所以三角形ABF全等三角形MBF (ASA)
所以AB=MB
AF=MF
所以F是AM的中点
因为AG垂直CE
所以角AGC=角NGC=90度
因为CG=CG
所以三角形AGC全等三角形NGC (ASA)
所以AC=NC
AG=NG
所以G是AN的中点
所以FG是三角形AMN的中位线
所以FG=1/2MN
因为MN=MB+BC+NC
所以MN=AB+BC+AC
所以FG=1/2(AB+BC+AC)
(2) MN=1/2(AB+AC-BC)
证明：因为BD ,CE分别是三角形ABC内角平分线
所以角ABD=角CBD
角ACE=角BCE
因为AF垂直BD，BC交AF的延长线于M
所以角AFB=角MFB=90度
因为BF=BF
所以三角形AFB全等三角形MFB (ASA)
所以AB=MB
AF=MF
所以F是AM的中点
因为AG垂直CE，BC交AG的延长线于N
所以角AGC=角NGC=90度
因为CG=CG
所以三角形AGC全等三角形NGC (ASA)
所以AC=NC
AG=NG
所以G是AN的中点
所以FG是三角形AMN的中位线
所以FG=1/2MN
因为MN=BM-BN
BN=BC-NC
所以MN=AB-(BC-AC)
MN=AB+AC-BC
所以MN=1/2(AB+AC-BC)
(3)证明：FG=1/2(AC+BC-AB)
因为FG是三角形AMN的中位线（已证）
所以FG=1/2MN
因为MN=NC+CM
AC=NC（已证）
所以MN=AC+CM
因为CM=BC-BM
BM=AB（已证）
所以MN=AC+BC-AB
所以FG=1/2(AC+BC-AB)

Answer 2

追问

不用添辅助线吗

追答

不用。。。。。。。