泛函分析中:柯西点列一定是收敛点列的证明
这是完备空间的定义。如果在不完备的空间里，当然可以有柯西列不收敛，距离空间中任意收敛点列都是柯西列，但柯西列不一定收敛。
设{x_n}是Cauchy点列。则满足任取e > 0，存在N，使得m, n >= N时，有x_m和x_n距离小于e。
取e = 1，设m, n >= N0时，x_m和x_n距离小于1。此时取m = N0，则x_N0和x_n的距离小于1。说明N0之后的点都在以x_N0为球心，半径为1的球之内。
而N0之前只有有限个点x_1, ..., x_{N0-1}。取M = max{x_N0到x_i的距离，i < N0}，再取M1 = max{M, 1}，于是X_N0到x_n(n是自然数）的距离都不超过M1，当然说明这个点列是有界的。
扩展资料：
设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有
（I）（正定性）d(x,y）≥0，且d(x,y)=0当且仅当x = y；
（Ⅱ）（对称性）d(x,y)=d(y,x）；
（Ⅲ）（三角不等式）d(x,z）≤d(x,y)+d(y,z）
则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。
参考资料来源：百度百科-度量空间
这是完备空间的定义。如果在不完备的空间里，当然可以有柯西列不收敛，距离空间中任意收敛点列都是柯西列，但柯西列不一定收敛。
设{x_n}是Cauchy点列。则满足任取e > 0，存在N，使得m, n >= N时，有x_m和x_n距离小于e。
取e = 1，设m, n >= N0时，x_m和x_n距离小于1。此时取m = N0，则x_N0和x_n的距离小于1。说明N0之后的点都在以x_N0为球心，半径为1的球之内。
而N0之前只有有限个点x_1, ..., x_{N0-1}。取M = max{x_N0到x_i的距离，i < N0}，再取M1 = max{M, 1}，于是X_N0到x_n(n是自然数）的距离都不超过M1，当然说明这个点列是有界的。
扩展资料：
设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有
（I）（正定性）d(x,y）≥0，且d(x,y)=0当且仅当x = y；
（Ⅱ）（对称性）d(x,y)=d(y,x）；
（Ⅲ）（三角不等式）d(x,z）≤d(x,y)+d(y,z）
则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。
参考资料来源：百度百科-度量空间
