Question

高中数学必修一 二次函数证明问题

如题 求证(2) 第一问我会
本人实在水平有限 做了两个小时了..分也不多 意思一下就好
看不清题的直接问我 在线等

Answer 1

(1)已知2次函数f(x)=ax^2+bx+c
若f(-1)= 0，试判断函数f(x)零点的个数
f(-1)=a-b+c=0，b=a+c, b^2=( a+c)^2≥a^2+2ac+c^2≥4ac，
f(x)=ax^2+(a+c)x+c=ax(x+1)+c(x+1)=(x+1) (ax+c)
故当a=c=1时,f(x)有两个相同的零点-1,否则有两个不同的零点,一个零点-1,另一个零点是-c/a.

(2)设f(x)=ax^2+bx+c, f(x1)=ax1^2+bx1+c=A, f(x2)=ax2^2+bx2+c=B,
A,B的算术平均值(A+B)/2介于A,B之间,利用连续函数的均值定理一定存在x1<x0 <x2，使得f(x0)= (A+B)/2=(f(x1)+f(x2))/2

连续函数的均值定理是高等数学的内容，尝试着用初等数学给你一个证明,由f(x1)=ax1^2+bx1+c=A, f(x2)=ax2^2+bx2+c=B,故得
f(x1) -A =ax1^2+bx1+c-A=0, f(x2) -B =ax2^2+bx2+c-B=0,
即x1,x2分别是f(x) -A =0, f(x) -B =0的实根,由2次方程判别式得
b^2-4a(c-A)≥0, b^2-4a(c-B)≥0,
b^2≥4a(c-A), b^2≥4a(c-B),
上面两式相加得
2b^2≥4a(c-A)+4a(c-B)=4a(2c-A-B)
b^2≥4a(c-(A+B)/2)
再由2次方程判别式可知f(x)-(A+B)/2=0实根,即存在x0，
f(x0)=(A+B)/2,f(x0)= (f(x1)+f(x2))/2
下面需证x1<x0 <x2, 由上面可知
x1=[-b±√(b^2-4a(c-A))]/2
x2=[-b±√(b^2-4a(c-B))]/2
x0=[-b±√(b^2-4a(c-(A+B)/2))]/2
由于4a(c-(A+B)/2)介于4a(c-A),4a(c-B)之间,无论x1,x2取上式那个根, x0必有一个值介于两者之间。

Answer 2

不妨设f（x1）<f（x2）,则f（x1)<1/2（f（x1）+f（x2））<f（x2），又因为函数为连续函数，所以，必然存在一点x0，使得证明成立；
同理可证，f（x1）>f（x2