Question

已知f(x)=(x^2–2x)lnx+ax^2+2,g(x)=f(x)–x–2，一，若是g(x)有

已知f(x)=(x^2–2x)lnx+ax^2+2,g(x)=f(x)–x–2，一，若是g(x)有且仅有一个零点时，求a的值，二，在一的条件下，若e^(-2)<x<e,g(x)≤m，求m的取值范围

Answer 1

(1)g(x)=f(x)–x–2

=(x^2–2x)lnx+ax^2-x,x>0,

g(x)=0有且仅有一个实根，

<==>a=[1-(x-2)lnx]]/x(x>0)只有一个原像，①
a'={[-lnx-(x-2)/x]x-[1-(x-2)lnx]}/x^2
=[-xlnx-x+2-1+(x-2)lnx]/x^2
=(1-x-2lnx)/x^2,
设h(x)=1-x-2lnx,则
h'(x)=-1-2/x<0,h(x)是减函数，h(x)有唯一零点：x=1.
0<x<1时h(x)>0,a'>0,a是增函数；x>1时a是减函数，
∴①<==>x=1,a=1.
(2)e^(-2)<x<e,g(x)=(x^2-2x)lnx+x^2-x≤m恒成立，②

g'(x)=(2x-2)lnx+x-2+2x-1=(2x-2)lnx+3x-3,
g''(x)=2lnx+2-2/x+3=2lnx+5-2/x,
g'''(x)=2/x+2/x^2>0,g''(x)是增函数，
g''[e^(-2)]=-4+5-2e^2<0,
g''(e)=7-2/e>0,g''(x)有唯一零点x1≈0.54，
易知g'(x)>=g'(x1)≈-0.8，g'(1)=0,g'[e^(-2)]=1-1/e^2>0,
在e^(-2)<x<x1时g'(x)有零点x2≈0.22，
e^(-2)<x<x2时g'(x)>0,x2<x<1时g'(x)<0,1<x<e时g'(x)>0,
g(x)的极大值=g(x2)≈0.42，g(e)=2e^2-3e>g(x2),
∴m>=2e^2-3e,为所求.

Answer 2

(1)g(x)=f(x)–x–2
=(x^2–2x)lnx+ax^2-x,x>0,
g(x)=0有且仅有一个实根，
<==>a=[1-(x-2)lnx]]/x(x>0)只有一个原像，①
a'={[-lnx-(x-2)/x]x-[1-(x-2)lnx]}/x^2
=[-xlnx-x+2-1+(x-2)lnx]/x^2
=(1-x-2lnx)/x^2,
设h(x)=1-x-2lnx,则
h'(x)=-1-2/x<0,h(x)是减函数，h(x)有唯一零点：x=1.
0<x<1时h(x)>0,a'>0,a是增函数；x>1时a是减函数，
∴①<==>x=1,a=1.
(2)e^(-2)<x<e,g(x)=(x^2-2x)lnx+x^2-x≤m恒成立，②
g'(x)=(2x-2)lnx+x-2+2x-1=(2x-2)lnx+3x-3,
g''(x)=2lnx+2-2/x+3=2lnx+5-2/x,
g'''(x)=2/x+2/x^2>0,g''(x)是增函数，
g''[e^(-2)]=-4+5-2e^2<0,
g''(e)=7-2/e>0,g''(x)有唯一零点x1≈0.54，
易知g'(x)>=g'(x1)≈-0.8，g'(1)=0,g'[e^(-2)]=1-1/e^2>0,
在e^(-2)<x<x1时g'(x)有零点x2≈0.22，
e^(-2)<x<x2时g'(x)>0,x2<x<1时g'(x)<0,1<x<e时g'(x)>0,
g(x)的极大值=g(x2)≈0.42，g(e)=2e^2-3e>g(x2),
∴m>=2e^2-3e,为所求.

Answer 3

(1)g(x)=f(x)–x–2
=(x^2–2x)lnx+ax^2-x,x>0,
g(x)=0有且仅有一个实根，
<==>a=[1-(x-2)lnx]]/x(x>0)只有一个原像，①
a'={[-lnx-(x-2)/x]x-[1-(x-2)lnx]}/x^2
=[-xlnx-x+2-1+(x-2)lnx]/x^2
=(1-x-2lnx)/x^2,
设h(x)=1-x-2lnx,则
h'(x)=-1-2/x<0,h(x)是
减函数
，h(x)有唯一零点：x=1.
0
0,a'>0,a是
增函数
；x>1时a是减函数，
∴①<==>x=1,a=1.
(2)e^(-2)
0,g''(x)是增函数，
g''[e^(-2)]=-4+5-2e^2<0,
g''(e)=7-2/e>0,g''(x)有唯一零点x1≈0.54，
易知
g'(x)>=g'(x1)≈-0.8，g'(1)=0,g'[e^(-2)]=1-1/e^2>0,
在e^(-2)
0,x2
0,
g(x)的极大值=g(x2)≈0.42，g(e)=2e^2-3e>g(x2),
∴m>=2e^2-3e,为所求.