Question

已知等差数列an中,a3=7,a1+a2+a3=12,令bn=an×a(n+1)，数列 1/bn 的前n项和为Tn，n∈N*

已知等差数列an中,a3=7,a1+a2+a3=12,令bn=an×a(n+1)，数列 1/bn 的前n项和为Tn，n∈N*
2 求证 ：Tn＜1/3
3 通过对数列 Tn 的探究，写出“T1,Tm，Tn成等比数列”的一个真命题并说明理由(1＜m＜n，m，n∈N*)

Answer 1

a3=7,a1+a2=5, 2*a2=a1+a3. 故a1=1，a2=4.an=1+3*(n-1)=3n-2.所以1/bn=1/(3n-2)*(3n+1)=1/3*[1/(3n-2)-1/(3n+1)],所以Tn=1/3*[（1/1-1/4）+（1/4-1/7）+......+（1/(3n-2)-1/(3n+1)）]=1/3-1/[3*（3n+1）]，故小于1/3
3，想根据Tn的公式来算T1，Tm，Tn。会推出一个y^2=3x^2+1的二元二次方程，有点小崩溃啊，解出来也可以，不过既然是自己编真命题，那就自己带数据试，从2开始，m=2，Tm=2/7，则Tn=16/49，n=16。真命题“T1，T2，T16成等比数列”。证明如下：公式Tn=1/3-1/[3*（3n+1）]，代入数据，T1=1/4，T2=2/7，T16=16/49，则T2/T1=T16/T2，所以是等比数列。

Answer 2

（1）通项an=3n-2.(n=1,2,3,...).(2),通项Tn={1-[1/(3n+1)]}/3.＜1/3.(3),当m=2,n=16时，T1，T2，T16成等比数列。

Answer 3

很容易算出数列An的公差是3，首项是1。所以！~你可以知道An的通项吧？An=3n-2。所以Bn=(3n-2)(3n+1),Bn你不就知道了？Tn你不就可以算出通项了？然后就列出来，数学归纳证明就可以了！

Answer 4

瞎算呗