Question

已知A、B是抛物线x^2=2px(p>0)上的两个动点，O为坐标原点，非零向量OA、OB满足OA+OB=OA-OB

求证：直线AB经过一定点。 OA、OB是向量！！！！！！！！！

Answer 1

原题应该是这个样子吧：
已知A、B是抛物线y²=2px(p>0)上的两个动点，O为坐标原点，非零向量OA、OB满足|OA+OB|=|OA-OB|, 求证：直线AB经过一定点。

【解】非零向量OA、OB满足|OA+OB|=|OA-OB|,
说明以向量OA,OB为邻边作平行四边形，它的两条对角线长相等。
即该四边形是矩形，则OA⊥OB.

设直线AB方程为x=my+n, 与抛物线y²=2px联立消去x得：
y²-2pmy-2pn=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2).则 y1+y2=2pm，y1y2=-2pn.
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0.
即(my1+n)(my2+n) +y1y2=0.
(m²+1)y1y2+mn(y1+y2)+n²=0.
∴(m²+1) •（-2pn）+mn•2pm+n²=0
∴n²-2pn =0，n=2p.

所以直线AB方程x=my+n可化为x=my+2p,
显然直线AB经过定点(2p,0).