求方程y²dx (x²–xy)dy=0的通解
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解:∵微分方程为y²dx+(x²-xy)dy=0,化为 dx/dy=(xy-x²)/y² ∴设x=uy,有 u+ydu/dy=u-u²,ydu/dy=-u², -du/u²=dy/y,1/u=ln|y|+ln|c|(c为任意非零常数) ∴方程的通解为e^(y/x)=cy
∵微分方程为y²dx-(x²-xy)dy=0,化为 dx/dy=(x²-xy)/y² ∴设x=uy,有
u+ydu/dy=u²-u,ydu/dy=u²-2u, du/u(u-2)=dy/y,du/(u-2)-du/u=2dy/y ln|(u-2)/u|=lny²+ln|c|(c为任意常数) ∴有(u-2)/u=cy²,u=2(1-cy²)
∴方程的通解为x=2y(1-cy²)
∵微分方程为y²dx-(x²-xy)dy=0,化为 dx/dy=(x²-xy)/y² ∴设x=uy,有
u+ydu/dy=u²-u,ydu/dy=u²-2u, du/u(u-2)=dy/y,du/(u-2)-du/u=2dy/y ln|(u-2)/u|=lny²+ln|c|(c为任意常数) ∴有(u-2)/u=cy²,u=2(1-cy²)
∴方程的通解为x=2y(1-cy²)
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