Question

两个边长都为1的正方形ABCD，ABEF所在平面相交于直线AB，M∈AC,N∈BF,并且AM=FN=x

两个边长都为1的正方形ABCD，ABEF所在平面相交于直线AB，M∈AC,N∈BF,并且AM=FN=x. （1）.求证：直线MN‖平面BCE. （2）.若∠DAF=90°，求MN的最小值.

Answer 1

过M做直线PM平行于BC交AB于P，CD于Q
那么只要得到NP平行AF即可。
利用三角形相似计算。。
因为BP=CQ，BN=CM
因为边长都为1的正方形ABCD，ABEF，且CQ/CD=CM/CA
所以BP/BA=BN/BF
得到三角形BNQ相似三角形BAF
所以NP平行于AF
因为两平面有相交直线互相平行所以两平面平行。

因为两平面垂直
所以MN^2=MP^2+NP^2
又因为MP+PN=1
所以当MP=NP时去得最值
是√2/2

Answer 2

取P∈AB 使AP/PB＝x/（√2-x）.则MP‖CB, NP‖FA‖BE.平面MNP‖平面BCE.
MN‖平面BCE.
求MN的最小值.计算太麻烦。为了简化，假设两个平面垂直！
MN²＝x²/2+（√2-x）²/2＝x²-√2x+1＝（x-√2/2）²+1/2.MN的最小值＝1/√2
[ 两个平面不垂直时。MN长度最小值会有变化。但是还是在各取中点时达到。]

Answer 3

错的