Question

如图,BC是圆O的直径,A是弦BD延长线上一点,切线DE切圆O于点D,交AC于点E,且AE=CE.(1

如图，BC是圆O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE切圆O于点D，交AC于点E，且AE=CE

求证：AC是圆O的切线

Answer 1

解：
延长ED到F，连结CD

∵ EF切圆O于D，BD是弦
∴ ∠BDF=∠BCD
又 ∠BDF=∠ADE （对顶角）
∴ ∠ADE= ∠BCD

∵ BC是圆O的直径
∴ ∠BDC=90°
∴ ∠ADC=90° （补角）
∴ △ADC是直角三角形
又 E是斜边AC的中点
∴ ED=EC
∴ ∠EDC=∠DCE

∴ ∠ADE+∠EDC=∠BCD+∠DCE
即 ∠ADC=∠BCE
又 ∠ADC=90°
∴ ∠BCE=90°
又 BC过圆心O
∴ AC是圆O的切线

证之。