Question

设函数f（x）=xex,（I）求f（x）的单调区间并解不等式f（x2-1）＞f（2x2-4x+1）

设函数f（x）=xex,（I）求f（x）的单调区间并解不等式f（x2-1）＞f（2x2-4x+1）；（II）当x≤-1时，f（x）≤1/kf（k/x）有解，求k的取值范围

Answer 1

f(x)=xe^x
f'(x)=e^x+xe^x
驻点：x=-1
x<-1,f'(x)<0 f(x)单调递减，x>-1,f'(x)>0 f(x)单调递增
f(x²-1)>f(2x²-4x+1)
当x>-1 x²-1>2x²-4x+1→-x²+4x-2<0→2-√2<x<2+√2
当x<-1 x²-1<2x²-4x+1→x²-4x+2>0 无解
∴解集：x∈(2-√2,<2+√2)
(II)x≤-1
f(x)-(1/k)f(k/x)=xe^x-(1/k)·(k/x)e^(k/x)=xe^x-e^(k/x)/x=[x²e^x-e^(k/x)]/x
不等式成立，分母x<0→分子x²e^x-e^(k/x)≥0
令g(x)=x²e^x-e^(k/x)
g'(x)=(2x+1)e^x+(k/x²)·e^(k/x)
k<0,g'(x)<0 g(x)单调递减
lim(x→-∞)g(x)=0,无解
k>0,驻点：-x²(2x+1)e^x/k=e^(k/x) 为极大值点
极值=(kx²+2x³+x²)e^x/k
令t(x)=2x³+(k+1)x²
极大值点x₀=-(k+1)/3
极大值=-(k+1)³/27+(k+1)³/9>0
当k≥2时，x₀≤-1 区间在包含极大值点，有解
k<2时，x₀>-1 区间在极大值点左侧，单调递增
∵g(-1)=e^(-1)-e^(-k)
k<1,g(x)≤g(-1)<0,无解
综上k≥1

Answer 2

f（x）=xex事什么？最好发张图