Question

请问这个行列式问题怎么证明？

Answer 1

为了书写方便，统一使用罗马字母ABC，代替希腊字母
并利用公式，
sin2A=sinAcosA+cosAsinA
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

展开行列式，得到

sinAcosA+cosAsinA sinBcosA+cosBsinA sinAcosC+cosAsinC
sinAcosB+cosAsinB sinBcosB+cosBsinB sinBcosC+cosBsinC
sinAcosC+cosAsinC sinBcosC+cosBsinC sinCcosC+cosCsinC

拆开第1列，得到两个行列式
sinAcosA sinBcosA+cosBsinA sinAcosC+cosAsinC
sinAcosB sinBcosB+cosBsinB sinBcosC+cosBsinC
sinAcosC sinBcosC+cosBsinC sinCcosC+cosCsinC

和
cosAsinA sinBcosA+cosBsinA sinAcosC+cosAsinC
cosAsinB sinBcosB+cosBsinB sinBcosC+cosBsinC
cosAsinC sinBcosC+cosBsinC sinCcosC+cosCsinC

第1个行列式，提取第1列公因子sinA，
sinA*

cosA sinBcosA+cosBsinA sinAcosC+cosAsinC
cosB sinBcosB+cosBsinB sinBcosC+cosBsinC
cosC sinBcosC+cosBsinC sinCcosC+cosCsinC

然后第1列分别×（-sinB)，（-sinC)加到第2、3列，得到
sinA*

cosA cosBsinA sinAcosC
cosB cosBsinB sinBcosC
cosC cosBsinC sinCcosC

然后提取第2、3列公因子cosB、cosC，得到
sinAcosBcosC*

cosA sinA sinA
cosB sinB sinB
cosC sinC sinC

第2、3列相等，因此行列式为0

类似的，可证明第2个行列式为0，

因此结果为0