y是周期函数,则y的原函数是周期函数吗?
3个回答
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答：不一定。
证明：设y=f(x)，其中f'(x)为周期为T的函数，即f'(x)=f'(x+T).
该式两边分别对x积分
∫f'(x)dx=∫f'(x+T)dx=∫f'(x+T)d(x+T)
得
f(x)+C₁=f(x+T)+C₂.
由于C₁和C₂的取值是不确定的，因此当C₁≠C₂时，f(x+T)≠f(x)。
举个简单的例子，f(x)=x+sinx，其导函数为f'(x)=1+cosx是最小正周期为2π的周期函数，但它本身不是周期函数。
证明：设y=f(x)，其中f'(x)为周期为T的函数，即f'(x)=f'(x+T).
该式两边分别对x积分
∫f'(x)dx=∫f'(x+T)dx=∫f'(x+T)d(x+T)
得
f(x)+C₁=f(x+T)+C₂.
由于C₁和C₂的取值是不确定的，因此当C₁≠C₂时，f(x+T)≠f(x)。
举个简单的例子，f(x)=x+sinx，其导函数为f'(x)=1+cosx是最小正周期为2π的周期函数，但它本身不是周期函数。
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