Question

已知AB是圆o的直径,AP是圆o的切线,A是切点,BP与圆o交于点C,若D为AP的中点,求证:直线CD是圆o的切线。

如何证明

Answer 1

解：如下图，连接OC、AC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，∠ACP=90°．

在Rt△APC中，D为AP的中点，

∴∠DAC=∠DCA．

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA．

∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°，

∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°．

∴OC⊥CD．

∴直线CD是⊙O的切线．

 

Answer 2

解：如下图，连接OC、AC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，∠ACP=90°．

在Rt△APC中，D为AP的中点，

∴∠DAC=∠DCA．

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA．

∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°，

∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°．

∴OC⊥CD．

∴直线CD是⊙O的切线．

Answer 3

解：如下图，连接OC、AC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，∠ACP=90°．

在Rt△APC中，D为AP的中点，

∴∠DAC=∠DCA．

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA．

∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°，

∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°．

∴OC⊥CD．

∴直线CD是⊙O的切线．

Answer 4

联结OD、OC，因D是AP的中点，O是圆心，所以OD是三角形APB的中位线，因此角ADO与角P相等，角PCDD等于角CDO，角OCB等于角DOC，角PCD加角DCA等于90°，所以角ODC加角DCO等于90°，所以AC与OD垂直，证毕。

Answer 5

证明：连接OC、AC

由AB是⊙O的直径推出AC⊥PB，得直角三角形ACP

又由D为AP的中点可知CD=AD=PD

∵OA=OC ∴∠1=∠2

∵CD=AD ∴∠3=∠4

又∵AB是⊙O的直径，AP是切线

∴∠1+∠3=90°

∴∠2+∠4=90°

[评]（Ⅱ）当然，此题证法不唯一，第二问也可以连接OC、AC，利用全等证明。无论何种方法证明，最终都要去“证垂直”。