Question

在△ABC中,AB=AC,D为AC上一点,E为BD上一点∠ADB=60°,∠BCE=30°,求证AB=BE

Answer 1

如下：

设角A=a，

那么角ABC=角ACB=（180-a）/2=90-a/2，角ABD=180-a-60=120-a

所以角DBC=角ABC-角ABD=a/2-30

所以角BEC=180-30-角DBC=180-a/2

在三角形ABC中由正弦定理有：

BC/sinA=AB/sin角ACB=AB/sin（90-a/2）=AB/cos（a/2），

所以AB=BCcos（a/2）/sinA=BCcos（a/2）/2sin（a/2）cos（a/2）=BC/2sin（a/2）

在三角形BEC中由正弦定理有：

BC/sin角BEC=BE/sin角BCE

BC/sin（180-a/2）=BE/sin30

BC/sin（a/2）=BE/（1/2）=2BE

所以BE=BC/2sin（a/2）=AB

三角形性质

1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。

3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

Answer 2

不妨设角A=a，
那么角ABC=角ACB=（180-a）/2=90-a/2，角ABD=180-a-60=120-a
所以角DBC=角ABC-角ABD=a/2-30
所以角BEC=180-30-角DBC=180-a/2
在三角形ABC中由正弦定理有
BC/sinA=AB/sin角ACB=AB/sin（90-a/2）=AB/cos（a/2），
所以AB=BCcos（a/2）/sinA=BCcos（a/2）/2sin（a/2）cos（a/2）=BC/2sin（a/2）
在三角形BEC中由正弦定理有
BC/sin角BEC=BE/sin角BCE
BC/sin（180-a/2）=BE/sin30
BC/sin（a/2）=BE/（1/2）=2BE
所以BE=BC/2sin（a/2）=AB
命题得证

Answer 3

用角度推理可以。设∠DCE=X,则∠EBC=30°-X，∠ABE=2X,∠AEB=90°-X,
∠BAC=180°-2（30°+X)=120°-2x,∠EAD=180°-60°-（90°+X）=30°-X，则
∠BAE=∠BAC-∠EAC=90°-X,故∠AEB=∠BAE,BA=BE