Question

已知，如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点F.求证：（1）四边形CDEF是菱形（2）EF²=BF×BE

Answer 1

1,由图可得正五边形每个角=108度，而AB=BC，所以∠CAB=∠ACB=36度。所以∠DCF=108-36=72度。因为AE=BC,∠EAB=∠CBA,AB=BA所以△EAB≌△CBA可得∠EBA=∠CAB=36度所以∠BFC=∠EBA+∠CAB=72度所以∠BFC=∠DCF推出BE‖DC,又因为∠EDC+∠DCA=180度。所以AC‖DE所以四边形CDEF是平行四边形，又CD=DE,得出四边形CDEF是菱形。
2,由上可得∠FBC=180-∠BFC-∠ACB=72=∠BFC所以BC=FC由四边形为菱形得FC=EF,所以BC=EF因为∠BAF=BEA=36度，∠EBA=∠ABF所以△EBA∽△ABF所以BA/BF=EB/AB即AB^2=BF×BE。而AB=BC=EF,所以EF^2=BF×BE