Question

高等数学不定积分的问题

高等数学不定积分的问题高等数学不定积分三角变换问题第二步上下同除cosx平方，为什么不把cosx平方是0的情况考虑进去，上下不能同除一个是0的数呀！这到底是怎么回事啊！

Answer 1

不定积分是求原函数，不必关注那些特殊情况。
一定要讨论的话， cosx = 0, (sinx)^2 = 1, 被积函数变为 1，
原函数是 x + c
只有定积分，有积分区间，要考虑这种 "奇点“。

Answer 2

使cosx=0的x集合是个0测集，所以可以不考虑

追问

什么叫0测集啊？

追答

就是测度为0的集合，简单说比如正整数有无数个，但是他们如果点挨着点排成一条线一共有多长？其实每个点都没有长度于是由于他们可数所以排起来最后长度为0，所以他们的测度为0.
其实就是说去掉cosx=0的点对结果没有影响，因为他们”排起来”长度为0

追问

是说所有求不定积分的题都不用管范围，分式上下可以任意乘除吗？

追答

并不是啊，要看除了之后的式子与原式相比积分奇点集合是否差了一个非0测集，你乘除的式子不一定不会对原积分有影响

追问

不是差了非0测集呢？

追答

在差了一个0测集的情况下，要看那个0测集上的取值是否为正（负）无穷，并不是所有在0测集上的积分都为0的
其实没必要这么纠结，因为基本上狭义Riemann积分上的函数问题都不大

追问

什么问题不大？是不是就是说，基本上都是可以直接约掉且不考虑范围的？

回答了这个我就采纳你

我的疑惑就是，分子分母同除以一个为0的数，这样是不等价变形啊！不管什么0测集的事之类的

追答

同时除以0肯定不行，但是如果同时除以一个函数比如x，x只在0处为0作为除数才没有意义，但是你上下同时除以x一般是可以的，因为在一个点的积分值一般不用考虑。
相当于你把积分分段了，x=0这个点挖去了，但是并不影响积分结果