Question

高中数学，（椭圆，离心率范围）最好是老师回答

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1，右焦点F（1，0）O为原点，过F直线L，交椭圆于A B两点，且OB²+BA²＜AB² 求离心率范围。

本题我想使用数形结合的方法证明，即，使∠AOB的最小值为钝角，经本人验证，当L为竖直线（X=1）时，∠AOB最小，求证明？？？

解题步骤尽量简洁，我考试要用的，方法尽量使用高中范围内的，超范围请注明出处。以上，满意者加分~

步骤再详细一点吧，把需要用的知识发链接给我成吗！！！

Answer 1

OB²+OA²＜AB² 由余弦定理，∠AOB=（OB²+OA²-AB² ）/2OA*OB<0故为钝角
设L方程为y=k(x-1)代入椭圆方程消去y，得（a²k²+b²)x²-2a²k²x+a²(k²-b²)=0 (a)
设L与椭圆交于两点（x1,y1)(x2,y2)
由到角公式得tan∠AOB=｜（k1-k2)/(1+k1*k2) ｜ (1)
其中k1=y1/x1,k2=y2/x2再将y1=k(x1+1),y2=k(x2+1)代入(1)式化简得
tan∠AOB=｜（k(x1-x2))/((1-k²)x1*x2+k²(x1+x2)-k²)｜根据（a）式求得
x1+x2,x1*x2,(x1-x2)²=(x1+x2)²-2x1*x2的值代入上式
得到的tan∠AOB关于k的函数应无极值，即k趋于无穷大时tan∠AOB最大（钝角）这些应为大学内容，但有的高中也学。由于式子太复杂这里省略了最后结果，请见谅。

Answer 2

OB²+OA²＜AB² 由余弦定理，∠AOB=（OB²+OA²-AB² ）/2OA*OB<0故为钝角
设L方程为y=k(x-1)代入椭圆方程消去y，得（a²k²+b²)x²-2a²k²x+a²(k²-b²)=0 (a)
设L与椭圆交于两点（x1,y1)(x2,y2)
由到角公式得tan∠AOB=｜（k1-k2)/(1+k1*k2) ｜ (1)
其中k1=y1/x1,k2=y2/x2再将y1=k(x1+1),y2=k(x2+1)代入(1)式化简得
tan∠AOB=｜（k(x1-x2))/((1-k²)x1*x2+k²(x1+x2)-k²)｜根据（a）式求得
x1+x2,x1*x2,(x1-x2)²=(x1+x2)²-2x1*x2的值代入上式
得到的tan∠AOB关于k的函数应无极值，即k趋于无穷大时tan∠AOB最大（钝角）

Answer 3

设x=my+1,因为x^2/a^2+y^2/b^2=1,所以消去x有（b^2x^2+a^2）y^2+2mb^2y+b^2-a^2b^2=0
由韦达定理y1+y2=-2mb^2/(m^2b^2+a^2),y1y2=(b^2-a^2b^2)/(b^2m^2+a^2),
因为x1x2+y1y2<0,所以（my1+1）（my2+1）+y1y2<0,有(m^2+1)y1y2+m(y1+y2)+1+y1y2<0,
所以(m^+1)(b^2-a^2b^2)/(b^2m^2+a^2)+m(-2mb^2/(m^2b^2+a^2)+1<0,
所以a^2b^2（m^2+1）>a^2+b^2,所以m^2>(a^2+b^2)/a^2b^2-1恒成立，所以
(a^2+b^2)/a^2b^2-1<0,由b^2=a^2-c^2,所以a^2>(3+根号5)/2，所以e^2<2/(3+根号5)
即0<e<（根号5-1）/2

Answer 4

发现C+V的人真多

Answer 5

OB²+OA²＜AB² 由余弦定理，∠AOB=（OB²+OA²-AB² ）/2OA*OB<0故为钝角
设L方程为y=k(x-1)代入椭圆方程消去y，由到角公式得tan∠AOB=｜（k1-k2)/(1+k1*k2) ｜ (1)
其中k1=y1/x1,k2=y2/x2再将y1=k(x1+1),y2=k(x2+1)代入(1)式化简得
tan∠AOB=｜（k(x1-x2))/((1x1+x2,x1*x2,(x1-x2)²=(x1+x2)²-2x1*x2的值代入上式
得到的tan∠AOB关于k的函数应无极值，即k趋于无穷大时tan∠AOB最大（钝角）这些应为大学内容，但有的高中也学。由于式子太复杂这里省略了最后结果，请见谅。

Answer 6

这里最好是给出a,b的具体值，另外设直线l的方程式，设成：x=my+1，会更好些，那样不用考虑斜率不存在的情况