Question

从1、2、3、、2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除

Answer 1

任意4个数abcd 有a+b+c=b+c+d mod 33 所以a=b mod 33 同理可证a=b=c=d mod 33 又三个数之和都能被33整除 所以an =11mod33 或 an=0 mod 33
当an =11mod33 有61个

an=0 mod 33 有60个
所以最多有61个 证毕

Answer 2

任意三个数，他们之和为33的倍数，因此取出的每个整数都是33的倍数，因为2010/33=60.9，所以一共有60个

Answer 3

解：首先，如下61个数：11， ， ，…， （即1991）满足题设条件. …………（5分）
另一方面，设 是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数 ，因为
， ，
所以 .
因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）
设 ，i=1，2，3，…，n.
由 ，得 ，
所以 ， ，即 ≥11. …………（15分）
≤ ，
故 ≤60. 所以，n≤61.
综上所述，n的最大值为61. …………（20分）