Question

若A,B 是抛物线y^2=4x 上不同的两点 弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与X轴相交于点P 则称弦AB是点P点

一条“相关弦”。已知当X>2时 点P（X，0）存在无穷多条 "相关弦"给定X0>2,试证明：点P（x0，0）的所有“相关弦”的横坐标相同

Answer 1

（I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
（x1,y1）、（x2,y2）（x1 x2）,则y21=4x1, y22=4x2,
两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1 x2,所以y1+y2 0.
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）兆乱,则
k= .
从而AB的垂直平分线l的方程为
又点P（x0,0）在直线l上，所以-ym
而 于是
故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程枝猜亮是 ，代入 中，
整理得 （•）
则 是方程（•）的两个实根，且
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则

因为0< <4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是设t= ,则t (0,4x0-8).
记l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.
若x0>3,则2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即 =2(x0-3)时,
l有最大值2(x0-1).
若2<x0<3,则2(x0-1) 0,g(t) 在区间（0，4 x0-8）上是减函数，所以
0<l2<16(x0-2),l不存在最大值.
综上所述，当x0>3时，点P（x0,0）的“猛宽相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2
（x0-1）；当2< x0 3时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.